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打利博娛樂城麻將的數學冷知識（一）：在拿牌階段最能合作作弊的，是對家

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2018/07/27,

科學

打麻將的數學冷知識（一）：在拿牌階段最能合作作弊的，是對家

圖片來源：電影劇照

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今天就來聊聊一個歷時百餘年的古老桌遊：「麻將」。閲讀本文之前，讀者須對麻將的基本規則有初步的了解，至少了解一些專有名詞：胡、吃、碰、聽等等。接下來，我們將從數學的角度，來探討一些麻將中的冷知識。

文：郭君逸（國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家）

歷久不衰的桌遊——麻將

這幾年來，桌上遊戲的產量驚人，各地桌遊店林立，深受各年齡層的喜愛，每個月都有許多新桌遊被開發出來。在這之中比較受歡迎的桌遊，往往都有個特性，就是「運氣+鬥智」。一個桌遊，若完全沒有運氣，玩的人就會很少，例如：「

拈

」。因為，懂得方法的人就一定贏，這樣誰想玩？但若完全靠運氣的桌遊，玩的人也一定不多，因為沒有策略運用的空間。因此，受歡迎的桌遊，通常都運氣與鬥智各半，運氣的部份大多都是要抽牌、丟骰子；鬥智方面就是要做一些計算、優化，讓自己提高勝算。

今天就來聊聊一個歷時百餘年的古老桌遊：「麻將」。閲讀本文之前，讀者須對麻將的基本規則有初步的了解，至少了解一些專有名詞：胡、吃、碰、聽等等。接下來，我們將從數學的角度，來探討一些麻將中的冷知識。

骰位

打麻將每雀（將）開始前，要先抽牌（一般用東西南北四張牌）決定座位，稱為「骰位或抓位」。由於規則中的吃牌只能吃上家丟出的牌，加上每個牌手打牌的風格不一，因此上下家的關係就頗為重要。

比如説，如果婆婆坐在妳的上家，那妳講話就要特別小心一點，否則她會一直餵到妳叫嫑嫑的，千萬不要以為婆婆老人痴呆了。

圖片來源：電影劇照

一雀結束後，為了避免四家牌手的座位關係和上一雀相同，當骰到與上一雀座位關係不變時，有重新骰位的規定。

那請問重骰的機率有多高呢？

學過高中數學環狀排列單元的話，你知道四人的環狀排列只有3!=6種情況，每種發生的機率相同，所以重骰的機率是1/6。

如果你已經把排列組合還給高中數學老師，參考一下這個直觀的算法。自己的上家和前一雀一樣的機率為1/3，下家又一樣的機率剩1/2，一旦上下家都決定，對家只剩一人沒得選也就固定了，因此，重骰機率1/3 x 1/2也是1/6。

我猜你應該也有一種牌友，輸了很愛「牽拖」上家，經常牌桌上會有類似對話出現：

「婆婆～妳這是盯我啊！」

「運氣已經很差了還坐在雀壇影印機的下家！」

為了避免有人輸了「牽拖」，建議大家可以直接約好打六雀，把六種座位組合都輪一次，均衡一下上下家關係造成的影響。換位的作法其實很常見，你看籃球、排球、利博娛樂城足球、羽球……也都是要換場，確保場地因素的公平性。

抓牌

每一風有四個莊，每人輪流當莊家，每一局開始前，會由莊家丟三顆骰子（一般六面那種），依照三顆骰子總和，決定從哪裏開始抓牌。規則是先看要拿誰的門前牌（逆時針方式數），再看從哪裏開始拿（順時針方式數）。例如14就是從莊家上家（由莊家開始逆時針數到14會數到上家）的門前牌，留下14組，從第15組開始依序抓牌。

在這種規則下，每次從哪裏開始抓牌的機率會一樣嗎？

我們先計算骰出3～18每種點數的機率：

點數

骰到誰

出現次數

出現機率

3

對

1

1/216=0.46296％

4

上

3

1/72=1.38889％

5

莊

6

1/36=2.77778％

6

下

10

5/108=4.62963％

7

對

15

5/72=6.94444％

8

上

21

7/72=9.72222％

9

莊

25

25/216=11.57407％

10

下

27

1/8=12.5％

11

對

27

1/8=12.5％

12

上

25

25/216=11.57407％

13

莊

21

7/72=9.72222％

14

下

15

5/72=6.94444％

15

對

10

5/108=4.62963％

16

上

6

1/36=2.77778％

17

莊

3

1/72=1.38889％

18

下

1

1/216=0.46296％

總計

216

100％

接下來，

統計表

骰到誰開始

次數

機率

除以四餘1

莊

55

25.46％

除以四餘2

莊的下家

53

24.54％

除以四餘3

莊的對家

53

24.54％

除以四餘4

莊的上家

55

25.46％

由上表可知，莊家骰到的起始抓牌處之機率並不相等，骰到自己與上家的機率大了一點點。

再細分下去，每張牌在抓牌階段，被不同家拿到的機率也不盡相同。請參照下面的示意圖（這是筆者從excel直接拷過來的，原諒我沒有把所有的字轉正）。洗完牌後，每個人前面會砌18落牌，從莊家前，由右而左開始編號，依拿牌方向（順時針）編號1至72落牌，然後把骰到3點、4點……到18點，各種拿牌的情形，每張牌被每一玩家拿到的次數加起來，就是下表。

圖片來源：作者提供

舉例來説，莊家最右手邊的一落牌（如上圖圈起來的地方），不管骰多少，在抓牌階段，只會被莊家自己或其對家拿到，機率分別是55/216與50/216，一定不會被左右兩家拿到。因此，在拿牌階段最能合作作弊的，是對家。利用簡單的堆牌合作，雙方就能夠掌握一手好牌。

比如説莊家洗牌時，把一堆萬子，放在編號1、5、9、10、14、18的地方，然後對家也把萬子放在編號39、43、44、47、48、52的地方，則抓完牌後，兩家拿到萬子數量將會大大增加，另外兩家拿到萬子的機會就會下降。這是機率大小和期望值發揮作用的地方。當然，如果遇上真正的老千，藉由精準操控骰子，基本上要從哪裏開始拿已經被完全掌握住了。

這裏以台灣牌（16張麻將）為例，香港牌（13張麻將）也是差不多；若是打台灣南部牌（不玩花牌）的話，每個人只砌17落，也是會有類似的情況。如果打的是美國牌，那就不好説了，因為莊家有權要求再換三張。

總之，一坐上牌桌第一件事，要先問清楚打的是什麼牌。打麻將的學問還真不少，光是骰位和拿牌就藏了許多眉角，遑論實戰中出入每張牌所涉及的優化策略之複雜。

圖片來源：電影劇照

手裏拿到上面17張牌，自摸了嗎？

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打麻將的數學冷知識（二）：如何一眼就知道胡牌了沒

本文經授權轉載，原文

刊載於此

責任編輯：朱家儀 核稿編輯：潘柏翰

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醫療

不走冤枉路，創新數位矯正科技讓患者預見未來

Photo Credit：雅緹斯牙醫診所

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數碼化浪潮襲來，科技讓你不走矯正冤枉路！透過陳易駿齒顎矯正專科醫師的案例分享，讓我們來看看隱形矯正數位科技，可以怎麼提升醫病溝通效率，並透過視覺化圖片讓我們遇見理想的自己！

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Photo Credit：雅緹斯牙醫診所

雅緹斯牙醫診所陳易駿醫師表示，近年隨着科技進步，不僅讓矯正結果變得更可預測，同時也提升患者在療程中的體驗並加速療程效率。

臉部笑容模擬、數位微笑設計兩大技術 讓你遇見未來美好笑容

多數人印象中的矯正必經過程，可能還停留在用傳統印模材料取模，即便過程不適、反嘔也不得不忍耐。此外，患者也只能透過醫師口述，想像療程完成後的變化。然而，現今矯正導入數位科技，運用大數據資料庫與先進的軟硬件設備，透過模擬與圖像化的呈現，讓醫師與患者在溝通上，更加輕鬆與直觀。陳易駿醫師分享導入科技應用後，讓他跟患者都有感的的兩大環節：

首先，跳脱傳統取模方式現在可以透過數位口腔掃描儀，精準且快速地建立患者的牙齒3D模型，並與患者討論想改善的牙齒排列、假牙贋復等需求。此外，陳易駿醫師也提到口掃儀器不僅能呈現牙齒外觀，更有「臉部笑容模擬」技術。

他以虎牙突出、牙齒排列不齊的12歲女童為例，孩子的牙齦已因排列不齊的原因出現紅腫發炎的情況。他藉由此技術，透過雲端運算與臉部模擬成像的方式，讓家長與患者在幾分鐘內就能看到未來可能獲得的理想笑容，同時也了解矯正治療的迫切性。如此一來，不僅幫助醫病溝通，更能夠提升患者接受治療的意願。

Photo Credit：雅緹斯牙醫診所

陳易駿醫師透過臉部笑容模擬技術，不僅顯示出孩童牙齒排列不齊造成的牙齦腫脹問題，也讓患者理解矯正治療的迫切性。

再者，在現今技術下，醫師可以利用全球使用者資料庫，與創新「數位微笑設計」技術輔助，規劃出滿足牙齒排列整齊、微笑美學設計雙目標的治療計劃。陳易駿醫師分享一位22歲因門牙突出，曾在一年內撞斷兩次門牙的案例，原先患者只想進行植牙治療，但經專業評估後認為，若僅有植牙恐造成假牙突出、不自然，並可能再次發生撞斷的情況。

為協助患者更加了解完善的治療方式，醫師透過口腔掃描儀與「數位微笑設計」技術，將患者外觀納入微笑設計，讓醫師在設計治療計劃時，能同步規劃牙齒位置與植牙所需的空間，以利矯正完成後能順利銜接植牙治療。與此同時，患者也能透過模擬的結果，更加了解進行治療的重要性。

Photo Credit：雅緹斯牙醫診所

陳易駿醫師透過數位微笑設計技術，同步規劃牙齒位置與植牙所需的空間，以利矯正完成後能順利銜接植牙治療。

數位矯正療程提供完善的美齒規劃

在創新數位科技的輔助之下，患者得以節省很多過去繁複的療程前期步驟，乃至於心力與時間成本。但療程開始後，我們是否能追蹤療程如同預期發展？陳易駿醫師表示，在療程開始後，患者不僅可藉由APP紀錄並追蹤自己的佩戴狀況，醫師也能使用口腔掃描儀再次掃描，藉由進度追蹤功能即時對照原先的計劃，更加掌握療程的進度。

數位矯正療程不僅利用科技，使患者的矯正體驗更好，也讓醫師能夠更精準評估患者狀況，使醫師與患者在療程開始前有共同一致認同的治療目標，預見未來美好笑容。

本文為採訪「雅緹斯牙醫診所陳易駿醫師」 本文章內容由「霍夫曼公關」提供。

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“賭場老虎機：科技與創新的結合” – 探索賭場老虎機的科技進步和創新，如何提升玩家體驗。

賭場老虎機：科技與創新的結合

賭場老虎機一直以來都是吸引玩家的經典遊戲之一。隨着科技的不斷進步和創新，賭場老虎機也經歷了許多改變，以提升玩家的體驗。本文將探索賭場老虎機的科技進步和創新，並且詳細舉例説明。

1. 虛擬實境技術

虛擬實境技術是近年來賭場老虎機領域的一項重大創新。通過配戴虛擬實境頭盔，玩家可以身臨其境地體驗老虎機遊戲。例如，一款基於埃及文化的老虎機遊戲可以通過虛擬實境技術將玩家帶到古埃及的神秘世界中，讓他們感受到逼真的視覺和聽覺效果。

2. 互動功能

為了提升玩家的參與感和樂趣，賭場老虎機現在也加入了許多互動功能。例如，一些老虎機遊戲會在特定情況下觸發小遊戲，讓玩家有機會贏得額外的獎勵。這些小遊戲可以是解謎遊戲、射擊遊戲或其他形式的遊戲，讓玩家在轉動老虎機的同時享受更多樂趣。

3. 多元化的主題

傳統的賭場老虎機通常只有一個主題，例如水果、寶石或動物。然而，現在的賭場老虎機提供了更多多元化的主題選擇，以滿足不同玩家的喜好。例如，有些老虎機遊戲基於受歡迎的電影、電視劇或漫畫，讓玩家可以在遊戲中與自己喜愛的角色互動。

4. 獎勵和獎金系統

為了吸引更多玩家並提升他們的體驗，賭場老虎機現在也提供了更多的獎勵和獎金系統。例如，一些老虎機遊戲會在特定的連續贏得中提供額外的獎金，或者通過累積特定符號來解鎖額外的獎勵功能。這些獎勵和獎金系統增加了玩家贏得大獎的機會，同時也增加了他們的興奮感。

5. 移動設備兼容性

隨着智能手機和平板電腦的普及，賭場老虎機也開始兼容移動設備。現在，玩家可以通過下載專門的應用程序或使用網頁瀏覽器在他們的移動設備上享受賭場老虎機遊戲。這使得玩家可以隨時隨地享受他們喜愛的遊戲，提升了他們的便利性和可用性。

結論

賭場老虎機的科技進步和創新不斷提升玩家的體驗。虛擬實境技術、互動功能、多元化的主題、獎勵和獎金系統以及移動設備兼容性都為玩家帶來了更多樂趣和刺激。隨着科技的不斷發展，我們可以期待更多令人興奮的賭場老虎機創新。

“Unveiling the Secrets of GTO Strategy in Texas Hold'em: A Game Theory Perspective”

Unveiling the Secrets of GTO Strategy in Texas Hold'em: A Game Theory Perspective

Game Theory Optimal (GTO) strategy is a concept that has gained significant popularity in the world of poker, particularly in Texas Hold'em. It involves making decisions based on mathematical calculations and probabilities to maximize expected value. In this article, we will delve into the secrets of GTO strategy and explore how it can be applied in Texas Hold'em.

Understanding GTO Strategy

GTO strategy aims to find the equilibrium point in a game where no player can deviate from their strategy to gain an advantage. It involves balancing the ranges of hands played and the actions taken, such as betting, raising, or folding. By playing a GTO strategy, players can make it difficult for their opponents to exploit their weaknesses.

For example, let's say you are dealt a strong hand, such as pocket Aces, in a Texas Hold'em game. A GTO strategy would involve occasionally folding this hand to prevent your opponents from accurately predicting your actions based on your hand strength. By doing so, you maintain a balanced range and make it harder for your opponents to exploit your tendencies.

Implementing GTO Strategy

Implementing a GTO strategy requires a deep understanding of the game and the ability to make complex mathematical calculations. However, there are some general principles that can guide players towards a GTO approach.

  1. Range Construction: Building a balanced range of hands is crucial in GTO strategy. This means including a mix of strong hands, medium-strength hands, and weaker hands in your range. For example, if you only play premium hands, your opponents can easily exploit your strategy by folding whenever you bet.
  2. Frequency of Actions: GTO strategy involves varying the frequency of your actions to make it difficult for opponents to determine your hand strength. For instance, if you always bet when you have a strong hand, your opponents can easily fold when they don't have a strong hand themselves.
  3. Bluffing and Semi-Bluffing: Bluffing and semi-bluffing are essential components of a GTO strategy. By occasionally bluffing with weaker hands or semi-bluffing with draws, you can keep your opponents guessing and prevent them from exploiting your tendencies.
  4. Adjusting to Opponents: While GTO strategy is based on mathematical calculations, it's important to adjust your strategy based on your opponents' tendencies. If you notice that a particular opponent is consistently folding to bets, you can exploit this by bluffing more frequently against them.

Example of GTO Strategy in Action

Let's consider a scenario in a Texas Hold'em game where you are in the small blind position and are dealt a suited connector, such as 7-8 of hearts. In a GTO strategy, you would occasionally choose to raise with this hand to balance your range and prevent your opponents from accurately predicting your actions based on your hand strength.

By raising with a hand like 7-8 of hearts, you can put pressure on your opponents and potentially win the pot without having the best hand. This move also makes it difficult for your opponents to exploit your tendencies and adjust their strategy accordingly.

However, it's important to note that GTO strategy is not a one-size-fits-all approach. It should be adapted based on the specific game dynamics, table dynamics, and the skill level of your opponents.

In conclusion, GTO strategy is a powerful concept in Texas Hold'em that allows players to make optimal decisions based on mathematical calculations and probabilities. By implementing a GTO strategy, players can create a balanced range of hands, vary their actions, and keep their opponents guessing. While it requires a deep understanding of the game and complex calculations, mastering GTO strategy can significantly improve a player's overall performance in Texas Hold'em.

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